Метод усреднения, маятник с вибрирующим подвесом: Н. Н. Боголюбов, А. Стефенсон, П. Л. Капица и другие

В работе прослеживаются главные моменты исторического развития одного из основных методов исследования нелинейных систем - метода усреднения, который понимается как переход от так называемого точного уравнения $dx/dt = \varepsilon X ( t, x ) $ ($\varepsilon$ - малый параметр), к усреднённому уравнению $d\xi/ dt = \varepsilon X_0(\xi) + \varepsilon^2 P_2(\xi) + ... + \varepsilon^m P_m(\xi)$ путём подходящей замены переменной. Анализируется подход Боголюбова-Крылова к проблеме обоснования метода усреднения, основанный на теореме об инвариантной мере. В работе представлена эволюция взглядов на физический маятник с вибрирующим подвесом, начиная с работ по описанию его простых движений (А. Стефенсон, Г. Джеффрис, Н.Н. Боголюбов, П.Л. Капица, В.Н. Челомей и др.) и заканчивая сложными движениями. В последнем случае проявляются различные характерные особенности сложного поведения нелинейных систем - бифуркации, хаотические режимы и т.д. (Дж. Блэкберн, М. Бартучелли и др.). Описывается ряд аналогов маятника с вибрирующей точкой подвеса за пределами классической механики (А.В. Гапонов, М.А. Миллер - локализация частицы в электрическом поле; С.М. Осовец - стабилизация горячей плазмы; В. Пауль, Н. Рэмси, Х. Демельт - удержание частиц в переменном электромагнитном поле). Важной частью работы являются исторические сведения о Н.М. Крылове, Н.Н. Боголюбове, П.Л. Капице, что позволяет яснее представить мотивацию производившихся исследований, их обусловленность.