Известия высших учебных заведений. Прикладная нелинейная динамика
RUS  ENG    ЖУРНАЛЫ   ПЕРСОНАЛИИ   ОРГАНИЗАЦИИ   КОНФЕРЕНЦИИ   СЕМИНАРЫ   ВИДЕОТЕКА   ПАКЕТ AMSBIB  
Общая информация
Последний выпуск
Архив

Поиск публикаций
Поиск ссылок

RSS
Последний выпуск
Текущие выпуски
Архивные выпуски
Что такое RSS



Известия вузов. ПНД:
Год:
Том:
Выпуск:
Страница:
Найти






Персональный вход:
Логин:
Пароль:
Запомнить пароль
Войти
Забыли пароль?
Регистрация


Известия высших учебных заведений. Прикладная нелинейная динамика, 2019, том 27, выпуск 1, страницы 96–114
DOI: https://doi.org/10.18500/0869-6632-2019-27-1-96-114
(Mi ivp7)
 

НЕЛИНЕЙНАЯ ДИНАМИКА В ЛИЦАХ. ИСТОРИЯ

О развитии качественных методов решения нелинейных уравнений и некоторых последствиях

Е. М. Богатов

Старооскольский технологический институт (филиал МИСиС)
Аннотация: Цель. Целью работы является исследование развития метода неподвижной точки и теории степени отображения, связанных с именами П. Боля, Л. Брауэра, К. Борсука, С. Улама и др. и его применения к изучению поведения траекторий динамических систем и устойчивых состояний упорядоченных сред. Метод. Исследование основано на анализе фундаментальных работ перечисленных математиков 1900-1930 гг., а также более поздних результатов Н. Левинсона, Т. Воловика, В. Минеева, Дж. Толанда и Х. Хофера прикладного характера. Результаты. Работы Брауэра внесли существенный вклад в теорию разрешимости нелинейных уравнений вида $f(x) = x$ в конечномерной постановке. Этому предшествовало изучение сингулярных точек векторных полей, предпринятое А. Пуанкаре, а также доказательство теоремы Боля о невозможности отображения круга на свою границу. Первым математиком, использовавшим метод неподвижной точки в изучении систем дифференциальных уравнений, был Боль. Эта тема получила своё продолжение через 40 лет в работах Левинсона, который показал наличие в детерминированных диссипативных динамических системах хотя бы одного периодического решения. Введённое Брауэром фундаментальное понятие степени отображения (${\rm deg} f$) «заиграло» в самых неожиданных ситуациях. Исследования Воловика и Минеева выявили прямую зависимость дефектов упорядоченных сред от топологического инварианта $\mathrm{deg} f$, характеризующего отображение $f$ окрестности особой точки на сферу. Другое нестандартное применение степени отображения обнаружили Толанд и Хофер при изучении некоторых гамильтоновых систем. Вычисление $\mathrm{deg} f$ для отображений специального вида помогли им доказать существование периодических, гомоклинических и гетероклинических траекторий указанных систем. Обсуждение. Метод неподвижной точки и степень отображения — основные инструменты качественных методов решения нелинейных уравнений. Они оказались востребованными не только в рамках математики, но и в приложениях, причём эта тенденция, по-видимому, будет сохраняться и при переходе к бесконечномерному случаю.
Ключевые слова: история нелинейного функционального анализа, индекс Кронекера-Пуанкаре, качественные методы, топологические методы анализа, степень отображения, теорема о неподвижной точке, теорема об антиподальном отображении, устойчивые неоднородные состояния в упорядоченных средах, динамические системы, хаотическая динамика.
Поступила в редакцию: 28.04.2018
Принята в печать: 29.10.2018
Реферативные базы данных:
Тип публикации: Статья
УДК: 51 (09)
Образец цитирования: Е. М. Богатов, “О развитии качественных методов решения нелинейных уравнений и некоторых последствиях”, Известия вузов. ПНД, 27:1 (2019), 96–114
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Bog19}
\by Е.~М.~Богатов
\paper О развитии качественных методов решения нелинейных уравнений и некоторых последствиях
\jour Известия вузов. ПНД
\yr 2019
\vol 27
\issue 1
\pages 96--114
\mathnet{http://mi.mathnet.ru/ivp7}
\crossref{https://doi.org/10.18500/0869-6632-2019-27-1-96-114}
\elib{https://elibrary.ru/item.asp?id=37098731}
Образцы ссылок на эту страницу:
  • https://www.mathnet.ru/rus/ivp7
  • https://www.mathnet.ru/rus/ivp/v27/i1/p96
  • Citing articles in Google Scholar: Russian citations, English citations
    Related articles in Google Scholar: Russian articles, English articles
    Известия высших учебных заведений. Прикладная нелинейная динамика
    Статистика просмотров:
    Страница аннотации:152
    PDF полного текста:81
     
      Обратная связь:
     Пользовательское соглашение  Регистрация посетителей портала  Логотипы © Математический институт им. В. А. Стеклова РАН, 2024