Отображения с квазипериодичностью разной размерности и квазипериодическими бифуркациями

В работе обсуждается построение удобных и информационно емких трехмерных отображений, демонстрирующих существование 2-торов и 3-торов. Первое отображение получено путем дискретизации потоковой системы - генератора квазипериодических колебаний. Второе - путем дискретизации климатической модели Лоренц-84. Третье отображение предложено в теории квазипериодических бифуркаций Симо, Броером, Витоло. Необходимость обсуждения таких отображений связана с возможностью для них квазипериодичности разной размерности, а также квазипериодических бифуркаций, то есть бифуркаций инвариантных торов. Данный вопрос пока еще недостаточно освещен как в научной, так и в учебной литературе. Основным методом исследования является построение карт ляпуновских показателей. Карты получены численными методами. На таких картах разными оттенками показаны области периодических режимов, двухчастотной квазипериодичности, трехчастотной квазипериодичности и хаоса. Представлены также иллюстрации динамики в виде фазовых портретов. Обсуждаются особенности и классификационные признаки квазипериодических бифуркаций - бифуркаций инвариантных торов. Квазипериодические бифуркации анализируются с помощью графиков ляпуновских показателей и бифуркационных деревьев. Обсуждается различие квазипериодической бифуркации Хопфа и седло-узловой бифуркации инвариантных торов. Обсуждается зависимость картины от параметра - шага дискретизации. При малых значениях этого параметра картина близка к традиционной системе языков Арнольда, которые, однако, теперь наблюдаются на базе двухчастотных режимов и погружены в трехчастотную область. Новым моментом является появлениевстроенных в эти языки областей периодических резонансов высокого порядка. С ростом параметра дискретизации картина меняется. Языки с характерными остриями-основаниями сменяются полосами двухчастотных режимов со встроенными поперечными полосами периодических резонансов, от которых, в свою очередь, отходит новая система веерообразных языков двухчастотных режимов. Фазовые портреты внутри языков переходят от многооборотных кривых к системе изолированных овалов. Таким образом, показано, что картина, ассоциирующаяся с квазипериодической бифуркацией Хопфа, достаточно сложна и требует для своего анализа трех параметров. Сопоставляются случаи разных отображений. Показано, что «тор-отображение» наиболее полно описывает круг существенных феноменов в системах с квазипериодичностью разной размерности.