Неустойчивость Тьюринга в однопараметрической системе Гирера-Мейнхардта

Цель настоящей работы — найти область необходимых и достаточных условий диффузионной неустойчивости на плоскости параметров $(\tau,d)$ системы Гирера-Мейнхардта, где $\tau$ — параметр релаксации, $d$ — безразмерный коэффициент диффузии; вывести аналитическую зависимость критического волнового числа от характерного размера пространственной области; получить явные представления вторичных пространственно распределенных структур, образующихся в результате бифуркации пространственно-однородного положения равновесия, в виде рядов по степеням надкритичности. Методы. Для нахождения области неустойчивости Тьюринга применяются методы линейного анализа устойчивости. Для отыскания вторичных решений (тьюринговых структур) применяется метод Ляпунова-Шмидта в форме, развитой В. И. Юдовичем. Результаты. Получены выражения критического коэффициента диффузии через собственные значения оператора лапласа для произвольной ограниченной области. В явном виде найдена зависимость критического коэффициента диффузии от характерного размера области в двух случаях: для интервала и прямоугольниа. Построены явные выражения первых членов разложений вторичных стационарных решений по параметру надкритичности в одномерном случае, а также для прямоугольника, когда одно из волновых чисел равно нулю. в указанных случаях найдены достаточные условия мягкой потери устойчивости, приведены примеры вторичных решений. Заключение. Предложен общий подход для нахождения области неустойчивости Тьюринга и построения вторичных пространственно распределенных структур. Данный подход может быть применен к широкому классу математических моделей, описываемых системой двух уравнений реакции-диффузии.