Периодические режимы группового доминирования в полносвязных нейронных сетях

Рассматриваются нелинейные системы дифференциальных уравнений с запаздыванием, являющиеся математическими моделями полносвязных сетей импульсных нейронов. Целью работы является изучение динамических свойств одного специального класса решений этих систем. Методами большого параметра исследуются вопросы о существовании и устойчивости в изучаемых моделях специальных периодических движений — так называемых режимов группового доминирования или $k$-доминирования, где $k\in\mathbb{N}$. Результаты. Показано, что каждый такой режим представляет собой релаксационный цикл, ровно $k$ компонент которого совершают синхронные импульсные колебания, а все остальные компоненты асимптотически малы. Максимальное количество устойчивых циклов группового доминирования, сосуществующих в системе при надлежащем выборе параметров, равно $2^m-1$, где $m$ — число элементов сети. Заключение. Рассматриваемая модель с максимально большим числом связей позволяет описать наиболее сложное и разнообразное поведение, возможное в биологических нейронных ассоциациях. Особенностью рассмотренных нами режимов $k$-доминирования является то, что часть нейронов сети находится в неработающем (рефрактерном) состоянии. Каждому периодическому режиму $k$-доминирования может быть поставлен в соответствие бинарный вектор $(\alpha_{1}, \alpha_{2},\dots,\alpha_{m})$, где $\alpha_{j} = 1$, если $j$-й нейрон активен, и $\alpha_{j} = 0$ в противном случае. Принимая во внимание это обстоятельство, приходим к выводу, что данные режимы могут быть использованы для построения устройств с ассоциативной памятью на основе искусственных нейронных сетей.