Численное исследование динамической системы, порождаемой CABC векторным полем

Цель настоящего исследования состоит в построении винтового векторного поля и анализе порождаемой им динамической системы. Классическим примером такого поля является ABC (Arnold-Beltrami-Childress, Арнольд- Бельтрами-Чилдресс) течение, являющееся стационарным решением уравнений динамики идеальной несжимаемой жидкости. В статье численно изучается структура фазового пространства динамической системы, определяемой построенным векторным полем при различных предположениях. Методы. При построении динамической системы использован подход, предложенный для винтовых полей из класса CABC-течений (Compressible ABC). Основным инструментом изучения является численный анализ на основе построения и исследования отображения Пуанкаре. Для численного решения задачи Коши используется метод Рунге-Кутты 8-го порядка точности с постоянным шагом. Результаты. Для нового примера винтового векторного поля даны аналитические выражения его компонент, изучена структура фазового пространства порождённой им трёхмерной нелинейной динамической системы. Рассмотрены интегрируемый случай и два типа его возмущения, названных «сжимаемыми» и «несжимаемыми». Показано, что фазовое пространство в присутствии возмущений первого типа состоит из стационарных, периодических и квазипериодических траекторий, но имеет сложную структуру - в отображении Пуанкаре имеется множество седловых особых точек и периодических орбит, разделённых переплетением сепаратрис. При «несжимаемом» возмущении развитие динамики происходит согласно сценариям КАМ-теории с возникновением хаотических областей. Заключение. В работе представлен новый пример винтового векторного поля, которое при дополнительных условиях на параметры превращается в известное ABC-течение. Обнаруженную в результате вычислений сложную структуру фазового пространства можно интерпретировать как переходную от интегрируемой к неинтегрируемой, несмотря на отсутствие хаотических траекторий.