Из истории теории динамических систем: Проблема классификации

Целью работы является изучение истории представлений о классификации динамических систем, являющихся важнейшим объектом современной математики и имеющих огромное количество приложений. Решение проблемы классификации позволяет сделать первые шаги в понимании устройства системы в целом. Метод. Исследование основано на анализе оригинальных работ с привлечением некоторых воспоминаний участников описываемых событий. Результаты. Постановка проблемы восходит к А. Пуанкаре, разделившего дифференциальные уравнения на интегрируемые и неинтегрируемые. Дж. Биркгоф уже на языке динамических систем выделил неэргодические и эргодические системы, взяв за принцип классификации усложнение характера движения. К концу 1950-х гг. сложилась иерархия консервативных динамических систем: интегрируемые системы, эргодические системы, системы с перемешиванием, К-системы, В-системы. В диссипативном случае выделяли аналоги интегрируемых консервативных систем и системы со сложным, нерегулярным движением. С появлением в 1960-е гг. гиперболической теории была выдвинута гипотеза (С. Смейл) о существовании структурно устойчивых систем в многомерном случае. Но оказалось, что такие системы (системы Морса-Смейла) не образуют плотного множества, в многомерном случае типичны системы с гомоклинической структурой. Далее выяснилось, что реальные системы неоднородны, в них сосуществуют области с регулярным и нерегулярным движением с очень сложной топологией: системы с разделенным фазовым пространством в консервативном случае и квазиаттракторы - в диссипативном. Формы сосуществования упорядоченности и хаоса оказались очень многообразными. Имеются системы со «смешанной» динамикой. В системах с гомоклиническим касанием в общем невозможен даже полный качественный анализ. Интегрируемые системы, системы Морса-Смейла сами представляют сложно устроенные множества, и их классификация является нетривиальной задачей. Проблема классификации может быть решена лишь для отдельных групп динамических систем. Обсуждение. Динамические системы оказались необъятным объектом как по их многообразию, так и по сложности устройства. Исчерпывающая классификация динамических систем представляется неразрешимой задачей. Это характерно и для других областей математики, что обусловлено бесконечным разнообразием внешнего мира.