Из истории нелинейных интегральных уравнений

Работа посвящена истории развития теории нелинейных интегральных уравнений, охватывая период до начала 1930-х годов. Анализируя особенности начального периода, авторы акцентируют внимание на том, что интегральные уравнения (в частности, нелинейные) представляют самостоятельный объект исследований со своими задачами, требующий своей системы определений и своего языка. В качестве отправной точки здесь были взяты работы А.М. Ляпунова и А. Пуанкаре по фигурам равновесия вращающихся жидкостей, в которых впервые появились нелинейные интегральные уравнения и зародились качественные методы их решения, а также возникло одно из ключевых понятий нелинейной динамики – понятие бифуркации. В этой связи внимание также уделяется результатам, полученным их последователями – Э. Шмидтом, Т. Лалеску и Г. Брату. Отмечается, что к концу 1920-х годов старая идейная основа, доминировавшая в математике XVIII–XIX веков, — «уравнение-решение» себя исчерпала; для дальнейшего развития требовались новые идеи и новые подходы. Авторы относят этот период к следующему этапу научной эволюции, когда для описания поведения нелинейных систем стали привлекаться топологические и функционально-аналитические методы и начала строиться последовательная дедуктивная теория, основанная на строгих определениях и общих конструкциях. В данном контексте анализируется вклад в развитие теории нелинейных интегральных уравнений европейских математиков – Л. Лихтенштейна и А. Гаммерштейна. Большое внимание, в свою очередь, уделяется работам отечественных математиков – П.С. Урысона и А.И. Некрасова с учётом прикладного характера их исследований. Оценивается влияние развития теории нелинейных интегральных уравнений на создание и становление функционального анализа.