Нелинейная теория возмущений на основе вариационного принципа: Модельные примеры

Тема. Известно, что двойственное представление задач (через основную и сопряженную в смысле Лагранжа функции) позволяет сформулировать эффективную версию теории малых возмущений, однако расширение её области применения путём включения следующих членов ряда теории возмущений резко усложняют процедуру решения. В связи с этим, в ряде работ были предприняты поиски альтернативных подходов. К их числу относится и предложенный В.В. Учайкиным метод вариационного интерполирования (ВИ-метод), использующий не одну, как это имеет место в теории возмущений, а несколько опорных задач с известными решениями. Цель – демонстрация особенностей применения ВИ-метода на конкретных примерах и исследование его погрешностей. Исследуемые модели. Исследования проводятся на примерах решения нескольких модельных задач теории переноса, в упрощённых постановках представляющих задачи диффузии, переноса нейтронов, заряженных частиц и волн. Результаты. Решение параболического уравнения для амплитуды волны рассматривалось в области, где первое приближение теории возмущений неприменимо, тогда как ВИ-метод дал результаты, практически совпадающие с результатами прямого применения разностного метода, хотя для выбранных глубин опорные решения отличались от искомого более чем на порядок, а сложность вычислений ВИ-методом не превысила сложности первого приближения теории возмущений. Аналогичная ситуация обнаружилась и в случае прямого применения ВИ-метода к задаче о прохождении излучения в нерассеивающей среде и в стационарной задаче о диффузии в однородном слое с заданными коэффициентами поглощения $s$ и диффузии $l$. Обсуждение. Последняя задача наиболее интересна и наглядна в плане обсуждения, поскольку ведётк построению топограммы погрешности на плоскости $(s ; l)$. При данной постановке задачи искомый функционал есть просто функция двух указанных переменных, однако в более общем (и интересном) случае он может оказаться функционалом от функций, характеризующих зависимость свойств среды от координат.