Эффект расхождения частот в ансамблях автоколебательных систем с отталкивающей глобальной связью при синхронизации общим шумом

Тема. Работа посвящена изучению взаимодействия двух принципиально различных механизмов синхронизации: связью и воздействием случайного, но идентичного для всех осцилляторов сигнала – общего шума. Особое внимание уделяется эффекту расхождения частот, возникающему при конкуренции этих механизмов. Цель. Построение универсальной теории, описывающей такое взаимодействие, для осцилляторов с гладким устойчивым предельным циклом общего вида при глобальной связи. Учитывается дополнительный осложняющий фактор – внутренний шум, индивидуальный для каждого осциллятора. Предполагается установить, насколько результаты, полученные ранее для систем типа Отта–Антонсена, отражают ситуацию общего положения. Метод. Для осцилляторов общего вида вводится фазовое описание. Для уравнения Фоккера–Планка, соответствующего стохастическим уравнениям динамики фаз,строго проводится процедура осреднения в пределе высоких частот колебаний (используется метод многих масштабов). Полученные уравнения позволяют аналитически определить условия синхронизации ансамблей идентичных осцилляторов, а для слабо неидентичных – найти средние частоты колебаний в квадратурах. Аналитические результаты проверяются прямым численным моделированием для больших, но конечных ансамблей осцилляторов ван дер Поля, Рэлея и ван дер Поля–Дюффинга, а также для системы нейроноподобных осцилляторов ФитцХью–Нагумо. Результаты. Для системы идентичных осцилляторов без внутреннего шума установлено, что достаточно сильный общий шум может синхронизировать ансамбль с отталкивающей глобальной связью, а также исследована динамика локализации распределения осцилляторов. Последняя явно свидетельствует о том, что в течение процесса перехода к состоянию полной синхронизации распределение осцилляторов имеет «тяжелые» степенные хвосты даже при сколь угодно сильной притягивающей глобальной связи – без общего шума признаков формирования таких хвостов не наблюдается. Для ансамбля осцилляторов с внутренним шумом установлено, что равновесное распределение разностей фаз всегда имеет «тяжелые» степенные хвосты, и определены параметры этих хвостов. Аналитически найдено асимптотическое поведение для средней частоты осциллятора как функции собственной частоты: в частности, получен эффект расхождения средних частот при синхронизации общим шумом и наличии отталкивающей глобальной связи. Приведены примеры применения построенной теории для осцилляторов ван дер Поля, Рэлея, ван дер Поля–Дюффинга и ФитцХью–Нагумо. Результаты прямого численного моделирования для больших конечных ансамблей этих осцилляторов согласуются с теорией. Обсуждение. Установлено, что сколь угодно слабый общий шум, с одной стороны, увеличивает устойчивость синхронного состояния, а с другой – всегда создает «тяжелые» степенные хвосты для распределения разностей фаз. Это свидетельствует о существенно перемежаемом характере синхронизации общим шумом – периоды синхронного поведения прерываются событиями скачка разности фаз – и согласуется с тем фактом, что при наличии общего шума становится невозможным точное совпадение средних частот колебаний неидентичных систем. Нетривиальным является тот эффект, что при отталкивающей глобальной связи достаточно сильный общий шум синхронизирует состояния осцилляторов, но их средние частоты при этом взаимно отталкиваются. Влияние индивидуального внутреннего шума на средние частоты оказывается эффективно эквивалентным влиянию неидеальности синхронизации.