Неравенства для разностей средних на пространствах $H^1$

Пусть $(x_n)$ — последовательность и $\{c_k\}\in \ell^\infty (\mathbb{Z})$, причем $\|c_k\|_{\ell^\infty}\leq 1$. Определим
$$\mathcal{G}(x_n)=\sup_j\left|\sum_{k=0}^j c_k(x_{n_{k+1}}-x_{n_k})\right|.$$
Пусть $(X,\beta ,\mu ,\tau )$ — эргодическая, сохраняющая меру динамическая система, где $(X,\beta ,\mu )$ — пространство со вполне $\sigma$-конечной мерой. Предположим, что последовательность $(n_k)$ лакунарна. В статье доказаны следующие результаты:
(i) положим $\phi_n(x)=\dfrac{1}{n}\chi_{[0,n]}(x)$ на $\mathbb{R}$, тогда существует константа $C>0$ такая, что
$$\|\mathcal{G}(\phi_n\ast f)\|_{L^1(\mathbb{R})}\leq C\|f\|_{H^1(\mathbb{R})}$$
для всех $f\in H^1(\mathbb{R})$,
(ii) пусть
$$A_nf(x)=\frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1}f\big(\tau^kx\big)$$
— обычные эргодические средние из эргодической теории, тогда
$$\|\mathcal{G}(A_nf)\|_{L^1(X)}\leq C\|f\|_{H^1(X)}$$
для всех $f\in H^1(X)$,
(iii) если $[f(x)\log (x)]^+$ интегрируема, то $\mathcal{G}(A_nf)$ также интегрируема.