О Baillie-PSW гипотезе

Baillie PSW-гипотеза была сформулирована в $1980$ году и получила название по именам авторов (R. Baillie, C. Pomerance, J. Selfridge и S.Wagstaff). Гипотеза связана с проблемой существования нечетных чисел $n\equiv \pm 2\ (\bmod\ 5)$, являющихся одновременно Ферма- и Лукас-псевдопростыми (кратко, FL-псевдопростыми). Ферма псевдопростым по базе $a$ называется составное число $n$, удовлетворяющее условию $a^{n-1}\equiv 1\ (\bmod\ n)$. База $a$ выбирается равной $2$. Псевдопростое по Лукасу — это составное $n$, удовлетворяющее $F_{n-e(n)}\equiv 0\ (\bmod\ n)$, где $e(n)$ — символ Лежандра $e(n)={n\choose 5}$, $F_m$ — $m$-й член ряда Фибоначчи.
Согласно Baillie PSW-гипотезе FL-псевдопростых чисел не существует. Если гипотеза верна, то комбинированный тест простоты, проверяющий условия Ферма и Лукаса для нечетных чисел, не делящихся на $5$, дает верный ответ для всех чисел вида $n\equiv \pm 2\ (\bmod\ 5)$, что порождает новый детерминированный полиномиальный тест простоты, определяющий простоту шестидесяти процентов всех нечетных чисел всего за две проверки.
В этой работе мы продолжили исследование FL-псевдопростых чисел, начатое в нашей статье "Об одном комбинированном тесте простоты" , опубликованной в журнале "Изв. вузов. Матем." $(12)$ за $2022$, установили новые ограничения на вероятные FL-псевдопростые числа и описали новые алгоритмы проверки FL-простоты, с помощью которых доказали отсутствие таких чисел до границы $B=10^{21}$, что больше, чем в тридцать раз превышают известную ранее границу $2^{64}$, найденную J. Gilchrist в $2013$ году. Также была исправлена неточность в формулировке теоремы $4$ упомянутой статьи.