Уточнение неравенства типа Турана для многочленов

Для многочлена $P(z) =\displaystyle \sum_{j=0}^{n} c_jz^j$ степени $n$, все нули которого находятся в $|z|\leq k$, $ k\geq 1$, В. Джейн в работе \textquotedblleft On the derivative of a polynomial\textquotedblright, Bull. Math. Soc. Sci. Math. Roumanie Tome 59, 339–347 (2016) доказал, что
\begin{align*} \max_{|z|=1}|P^\prime(z)|\geq n\bigg(\frac{|c_0| +|c_n|k^{n+1}}{|c_0|(1+ k^{n+1}) +|c_n|(k^{n+1}+ k^{2n})}\bigg)\max_{|z|=1}|P(z)|. \end{align*}
Мы уточняем это неравенство и связанные с ним результаты для многочленов степени $n\geq 2$.