Вариационные неравенства и неравенства $\lambda$-скачка в $H^p$-пространствах

Пусть $\phi\in \mathscr{S}$, $\displaystyle\int\phi (x) dx=1$, определим
$$\phi_t(x)=\frac{1}{t^n}\phi \left(\dfrac{x}{t}\right)$$
и обозначим семейство функций $\{\phi_t\ast f(x)\}_{t>0}$ через $\Phi\ast f(x)$. Пусть также $\mathcal{J}$ — подмножество $\mathbb{R}$ (или, более общо, упорядоченное множество индексов) и существует константа $C_1$ такая, что
$$\sum_{t\in\mathcal{J}} \big|\hat{\phi}_t(x)\big|^2<C_1$$
для всех $x\in \mathbb{R}^n$. Тогда
i) существует константа $C_2>0$ такая, что
$$\|\mathscr{V}_2(\Phi\ast f)\|_{L^p}\leq C_2\|f\|_{H^p}, \frac{n}{n+1}<p\leq 1,$$
для всех $f\in H^p(\mathbb{R}^n)$, $\dfrac{n}{n+1}<p\leq 1$;
ii) оператор $\lambda$-скачка $N_{\lambda}(\Phi\ast f)$ удовлетворяет условию
$$\big\|\lambda [N_{\lambda}(\Phi\ast f)]^{1/2}\big\|_{L^p}\leq C_3\|f\|_{H^p}, \frac{n}{n+1}<p\leq 1,$$
равномерно по $\lambda >0$ при некоторой постоянной $C_3>0$.