Характеризация вещественных и эргодических пространств $H^1$ квадратичной функцией

Пусть $(n_k)$ — лакунарная последовательность без нетривиальных общих делителей и $f\in L^1(\mathbb{R})$. Определим квадратичную функцию
$$Sf(x)=\left(\sum\limits_{k=1}^{\infty}\left|\frac{1}{n_{k+1}}\int_{0}^{n_{k+1}}f(x-t) dt-\frac{1}{n_k}\int_{0}^{n_k}f(x-t) dt\right|^2\right)^{1/2}.$$
Мы доказываем существование констант $A$ и $B$ таких, что
$$\|f\|_{L^1(\mathbb{R})}\leq A\|Sf\|_{L^1(\mathbb{R})} \text{и} \|f\|_{H^1(\mathbb{R})}\leq B\|Sf\|_{L^1(\mathbb{R})}$$
для всех $f\in L^1(\mathbb{R})$. Пусть $(X,\mathscr{B} ,\mu ,\tau )$ — эргодическая сохраняющая меру динамическая система, где $(X,\mathscr{B} ,\mu )$ — пространство вполне $\sigma$-конечной меры. Рассмотрим обычные эргодические средние
$$A_nf(x)=\frac{1}{n}\displaystyle\sum\limits_{i=0}^{n-1}f(\tau^ix)$$
и определим эргодическую квадратичную функцию
$$\mathcal{S}f(x)=\left(\sum_{k=1}^{\infty}\left|A_{n_{k+1}}f(x)-A_{n_k}f(x)\right|^2\right)^{1/2}.$$
Мы показываем, что
$$\|f\|_{L^1(X)}\leq A\|\mathcal{S}f\|_{L^1(X)} \text{и} \|f\|_{H^1(X)}\leq B\|\mathcal{S}f\|_{L^1(X)}$$
для всех $f\in L^1(X)$, где $H^1(X)$ — эргодическое пространство Харди. Совмещая эти результаты с ранними результатами автора, выводим, что квадратичная функция $Sf$ характеризует вещественное пространство Харди $H^1(\mathbb{R})$, а эргодическая квадратичная функция $\mathcal{S}f$ характеризует эргодическое пространство Харди $H^1(X)$, если последовательность $(n_k)$ является лакунарной.