О линейно однородных гиперповерхностях в $ \Bbb R^4 $

Статья связана с задачей описания аффинно однородных гиперповерхностей пространства $ \Bbb R^4 $, имеющих в точности $3$-мерные алгебры аффинных симметрий. Для трех типов разрешимых $3$-мерных алгебр Ли изучены их линейно однородные $3$-мерные орбиты в этом пространстве, отличные от поверхностей второго порядка и цилиндрических поверхностей в $ \Bbb R^4 $ (не представляющих интереса в обсуждаемой задаче).
Наличие двух нетривиальных коммутационных соотношений в каждой из изучаемых алгебр приводит к существенному отличию ситуации с их орбитами в $ \Bbb R^4 $ от случая $3$-мерной абелевой алгебры, обладающей большим семейством аффинно различных (линейно однородных) орбит в этом же пространстве. Доказано, что один из изучаемых типов алгебр Ли вообще не допускает нетривиальных $4$-мерных линейных представлений; большое количество $3$-мерных орбит представлений двух других типов имеют богатые алгебры симметрий. В то же время для одного из трех типов алгебр Ли получено новое семейство линейно однородных орбит, имеющих именно $3$-мерные алгебры аффинных симметрий.
Доказательства полученных утверждений существенно опираются на символьные вычисления, связанные с $ (4\times 4) $-матрицами из изучаемых матричных алгебр Ли.