Обратная задача для обобщенных контргармонических средних

В данной статье предлагается рассмотреть обобщенное контргармоническое среднее, связанное со средним Кубо–Андо $\sigma$ формулой
$$ C_\sigma(X, Y) = X\sigma Y - X\sigma^\perp Y, $$
где $\sigma^\perp$ — дуальное среднее к $\sigma$, $X, Y$ — положительно определенные матрицы. Доказывается, что для симметричного среднего Кубо–Андо $\sigma$ такого, что $\sigma \ge \sharp$, и для любых положительно определенных матриц $A \ge B$ обратная задача
\begin{equation*} A=C_\sigma(X, Y), \ \ B=X^{1/2}(X^{-1/2}YX^{-1/2})^{1/2}X^{1/2} \end{equation*}
имеет положительное решение $(X, Y)$.