Разности и коммутаторы идемпотентов в $C^*$-алгебрах

Установлено подобие некоторых трипотентов и идемпотентов в гильбертовом пространстве $\mathcal{H}$. Получены новые результаты о разностях и коммутаторах идемпотентов $P$ и $Q$. В унитальном случае с разностью $P-Q$ нами связана разность $A_{P,Q}$ другой пары идемпотентов. Пусть $\varphi$ — след на унитальной $C^*$-алгебре $\mathcal{A}$, $ \mathfrak{M}_{\varphi}$ — идеал определения следа $\varphi$. Если $P-Q\in \mathfrak{M}_\varphi$, то $A_{P,Q}\in \mathfrak{M}_\varphi$ и $\varphi (A_{P,Q}) =\varphi (P-Q)\in \mathbb{R}$. В некоторых случаях это позволило установить равенство $\varphi (P-Q)=0$. Получены новые тождества для пар идемпотентов и для пар изоклинных проекторов. Доказано, что каждый оператор $A\in \mathcal{B}(\mathcal{H})$, $\dim \mathcal{H}=\infty$, представляется в виде суммы не более чем 50 коммутаторов идемпотентов из $ \mathcal{B}(\mathcal{H})$. Показано, что коммутатор идемпотента и произвольного элемента из алгебры $\mathcal{A}$ не может быть ненулевым идемпотентом. Если $\mathcal{H} $ сепарабельно и $\dim \mathcal{H} =\infty$, то каждый косоэрмитов оператор $T \in \mathcal{B}(\mathcal{H})$ представляется в виде суммы $T=\sum_{k=1}^4 [A_k, B_k]$, где $A_k, B_k \in \mathcal{B}(\mathcal{H})$ косоэрмитовы.