Геометрические комбинаторные потоки на двумерных поверхностях

В этой статье мы обсуждаем несколько возможных вариантов дискретизации потока Риччи на замкнутых двумерных поверхностях. Как известно из работ Гамильтона и Чоу, на замкнутой двумерной поверхности поток Риччи для любой начальной метрики сходится к метрике постоянной кривизны. Дискретная версия потока Риччи, предложенная Чоу и Луо, обладает тем же свойством. Эта версия в качестве метрики использует метрику упаковки кругов. Мы обсуждаем далекое обобщение этих результатов в двух важных направлениях. Вместе с тем, непосредственная дискретизация потока Риччи, в которой дискретным аналогом метрики служит набор длин ребер триангуляции, для некоторых начальных метрик не сходится к метрике постоянной кривизны, мы приводим соответствующие примеры. Кроме того, оказывается, что непосредственная дискретизация потока Риччи эквивалентна комбинаторному потоку Ямабе, предложенному Луо. Также обсуждается обобщение комбинаторного потока Ямабе и эквивалентный ему вариант комбинаторного потока Риччи. В этом обобщении вершинам приписываются разные веса, описывающие неоднородности поверхности при воздействии кривизны на метрику. Высказывается ряд гипотез о поведении решений обобщенного потока Ямабе, подтвержденных большим количеством численных экспериментов.