К вопросу о некоторых обобщениях свойств сцепленности семейств множеств и суперкомпактности топологических пространств

Рассматриваются естественные обобщения свойств сцепленности семейств (множеств) и суперкомпактности топологических пространств. В первом случае анализируется “кратная” сцепленность, когда постулируется непустота пересечения множеств из подсемейств мощности, не превосходящей заданное натуральное число $\mathbf{n}$, а во-втором — существование (открытой) предбазы, у которой всякое покрытие обладает подпокрытием с мощностью, не превосходящей $\mathbf{n}$. Исследуются максимальные $\mathbf{n}$-сцепленные в упомянутом смысле подсемейства $\pi$-системы с “нулем” и “единицей” ($\pi$-система есть непустое семейство, замкнутое относительно конечных пересечений), именуемые максимальными $\mathbf{n}$-сцепленными системами или (кратко) $\mathbf{n}$-МСС. Исследуются соотношения между $\mathbf{n}$-МСС и ультрафильтрами (у/ф) $\pi$-системы, включая “динамику” при изменении $\mathbf{n}$. Кроме того, исследуются битопологические пространства (БТП), элементами которых являются $\mathbf{n}$-МСС и у/ф; в качестве топологий, используемых при построении БТП (непустое множество с парой сравнимых топологий), применяются в обоих случаях топологии волмэновского и стоуновского типов. При этом топология волмэновского типа на множестве $\mathbf{n}$-МСС реализует $\mathbf{n}$-суперкомпактное в вышеупомянутом смысле $T_1$-пространство, являющееся абстрактным аналогом суперрасширения $T_1$-пространства. Показано, что БТП у/ф исходной $\pi$-системы является подпространством БТП с точками в виде $\mathbf{n}$-МСС: соответствующие “волмэновская” и “стоуновская” топологии на множестве у/ф индуцируются соответствующими топологиями на множестве $\mathbf{n}$-МСС.