Одна теорема о малых интервалах для субгармонических функций

Пусть $\mathbb{C}$ — комплексная плоскость, $E$ — измеримое подмножество на отрезке $[0,R]$ положительной полуоси $\mathbb{R}^+$, $u\not\equiv -\infty$ — субгармоническая функция на $\mathbb{C}$. Основной результат статьи — верхняя оценка интеграла от модуля $|u|$ по подмножеству $E$ через макcимум функции $u$ на окружности радиуса $R$ с центром в нуле и линейную лебегову меру подмножества $E$. Наш результат развивает одну из классических теорем Р. Неванлинны в случае $E=[0,R]$ и версии так называемой леммы Эдрея – Фукса о малых дугах для малых интервалов на $\mathbb{R}^+$ из работ А. Ф. Гришина, М. Л. Содина, Т. И. Малютиной. Полученная оценка имеет равномерный характер в том смысле, что константы в оценках абсолютные и не зависят от субгармонической функции при полунормировке $u(0)\geq 0$.