Паранормальные элементы в нормированной алгебре

Для нормированной алгебры $ \mathcal{A}$ и натурального числа $k$ введены и исследованы $\|\cdot \|$-замкнутые классы $\mathcal{P}_k(\mathcal{A})$. Показано, что $ \mathcal{P}_1(\mathcal{A})$ содержится в $\mathcal{P}_k(\mathcal{A})$ для всех $k$ и замкнут относительно возведения своих элементов в любую натуральную степень. Если $ \mathcal{A}$ унитальна, $U$, $V$ из $\mathcal{A}$ такие, что $\|U\|=\|V\|=1$, $VU=I$ и $T\in \mathcal{P}_k(\mathcal{A})$, то $UTV$ лежит в $\mathcal{P}_k(\mathcal{A})$ для всех $k$. Пусть $ \mathcal{A}$ унитальна, тогда 1) если элемент $T$ из $\mathcal{P}_1(\mathcal{A})$ обратим справа, то правый обратный элемент $T^{-1}$ лежит в $ \mathcal{P}_1(\mathcal{A})$; 2) при $\|I\|=1$ класс $ \mathcal{P}_1(\mathcal{A})$ состоит из нормалоидных элементов; 3) если спектр элемента $T$ из $\mathcal{P}_1(\mathcal{A})$ лежит на единичной окружности, то $\|TX\|=\|X\|$ для всех $X$ из $\mathcal{A}$. Если $\mathcal{A}=\mathcal{B}(\mathcal{H})$, то класс $ \mathcal{P}_1(\mathcal{A}) $ совпадает с классом всех паранормальных операторов в гильбертовом пространстве $\mathcal{H}$.