Два класса $\tau$-измеримых операторов, присоединенных к алгебре фон Неймана

Пусть $\mathcal{M}$ — алгебра фон Неймана операторов в гильбертовом пространстве $\mathcal{H}$, $\tau$ — точный нормальный полуконечный след на $\mathcal{M}$. Введены два (замкнутых в топологии сходимости по мере $\tau$) класса $\mathcal{P}_1$ и $\mathcal{P}_2$ $\tau$-измеримых операторов и исследованы их свойства. Класс $ \mathcal{P}_1$ содержится в $\mathcal{P}_2$. Если $\tau$-измеримый оператор $T$ гипонормален, то он лежит в $\mathcal{P}_1$; если оператор $T$ из $\mathcal{P}_k$, то $UTU^*$ лежит в $ \mathcal{P}_k$ для всех изометрий $U$ из $ \mathcal{M}$ и $k=1,2$; если оператор $T $ из $ \mathcal{P}_1$ обладает ограниченным обратным $T^{-1}$, то $T^{-1}$ лежит в $\mathcal{P}_1$. Установлены новые неравенства для перестановок операторов из $ \mathcal{P}_1$. Если $\tau$-измеримый оператор $T $ гипонормален и $T^n $ $\tau$-компактен для некоторого натурального числа $n$, то $T $ нормален и $\tau$-компактен. Если $\mathcal{M}=\mathcal{B}(\mathcal{H})$ и $\tau=\mathrm{tr}$, то класс $\mathcal{P}_1$ совпадает с классом всех паранормальных операторов в $\mathcal{H}$.