Об аффинной интерпретации преобразований Бэклунда

Cтатья посвящена аффинной интерпретации отображений Бэклунда (преобразования Бэклунда являются частным случаем отображений Бэклунда) для дифференциальных уравнений $2$-го порядка с неизвестной функцией двух аргументов. Заметим, что до сих пор нет работ, в которых преобразования Бэклунда интерпретируются как преобразования поверхностей в пространстве, отличном от евклидова пространства. В данной работе мы ограничиваемся рассмотрением так называемых отображений Бэклунда класса 1. Решения дифференциального уравнения представляются в виде поверхностей аффинного пространства, на которых индуцирована связность, определяющая представление нулевой кривизны.
Установлено, что в случае, когда дифференциальное уравнение с частными производными $2$-го порядка допускает отображение Бэклунда класса 1, для каждого решения уравнения найдется конгруэнция прямых в аффинном пространстве, образованная касательными к аффинному образу решения. Эта конгруэнция представляет собой аффинный аналог параболической конгруэнции в евклидовом пространстве. Отображение Бэклунда можно интерпретировать как преобразование поверхностей аффинного пространства, при котором аффинный образ решения дифференциального уравнения отображается в ту или иную из граничных поверхностей конгруэнции.