$(3,3)$-однородные квантовые логики с $18$ атомами. I

Квантовая логика называется $(m, n)$-однородной, если любой ее атом содержится ровно в $m$ максимальных, относительно включения, ортогональных множествах атомов (блоках), и каждый блок содержит ровно $n$ атомов. Атомы обозначим натуральными числами и для блока $\{ i,j,k\}$ используем аббревиатуру $i$-$j$-$k$. Любая $(3,3)$-однородная логика содержит следующие семь исходных блоков: $1$-$2$-$3$, $1$-$4$-$5$, $1$-$6$-$7$, $2$-$8$-$9$, $2$-$10$-$11$, $3$-$12$-$13$, $3$-$14$-$15$. Для $18$-атомной логики имеет значение расположение остальных атомов $16,17,18$. Мы рассматриваем случай, когда они образуют петлю размера $4$ в одном из слоев из начальных блоков, например, $l_4$: $3$-$14$-$15$, $15$-$16$-$17$, $17$-$18$-$13$, $13$-$12$-$3$. Оказывается, с точностью до изоморфизма существует $5$ таких логик. Для них описаны чистые состояния и группы автоморфизмов.