О качественных свойствах решений и субрешений квазилинейных эллиптических уравнений

Изучаются дивергентные эллиптические уравнения вида
$$ L[u]\equiv\sum_{i=1}^n\frac d{dx_i}a_i(x,u,\nabla u)=0, $$
где $a_i(x,s,\xi)$ – измеримые по $x$ и непрерывные no $(s,\xi)$ функции, удовлетворяющие условиям:
\begin{align} &\sum_{i=1}^na_i(x,s,\xi)\xi_i\ge\nu_1(1+|\xi|)^{\alpha-2}|\xi|^2,\qquad \alpha\ge2,\notag\\ &\sum_{i=1}^na_i^2(x,s,\xi)\le\nu_2^2(1+|\xi|)^{2(\alpha-2)},\qquad |\xi|^2,\,\nu_1\nu_2>0\notag. \end{align}

Для обобщенных решений однородной задачи Дирихле для этих уравнений в неограниченных областях с некомпактной границей доказана априорная оценка в энергетической норме типа неравенства Сен-Венана для уравнений теории упругости. Для субрешений доказана теорема о росте, имеющая вид теоремы Фрагмена–Линделёфа для аналитических функций и обобщающая теорему В. М. Миклюкова о субрешениях вырождающихся уравнений. Оценки решений и субрешений в доказанных теоремах зависят от геометрии области, описываемой в терминах основных частот сечений области на бесконечности. Аналогичной методикой устанавливаются оценки убывающих и растущих в окрестности конечной граничной точки решений.
Для непрерывных субрешений уравнения
$$ \sum_{i=1}^n\frac d{dx_i}a_i(x,u,\nabla u)-b(x,u,\nabla u)=0,\notag\\ \qquad b(x,s,\xi)\ge-\nu_3|\xi|^\alpha,\,\nu_3>0,\notag $$
доказан обобщенный принцип максимума в ограниченных областях. Библ. 6.