Неравенство Корна с весом и некоторые итерационные процессы для квазилинейных эллиптических систем

Пусть внутри ограниченной конечной области $\Omega\subset R^m$ с достаточно гладкой границей задана векторная функция $u(x)=(u^{(1)}(x),\dots,u^{(m)}(x))$, принадлежащая $W^{(1)}_m$, и пусть конечен интеграл $\int_\Omega(|\nabla u|^2r\alpha+|u|^2)\,dx$, где $\alpha<0$, $r$ – расстояние между точками $x_0,x\in\Omega$.
Теорема: если $x_0$ лежит внутри $\Omega$, то справедливо неравенство
$$ \sum_{i,k=1}^m\int_\Omega[D_ku^{(l)}+D_lu^{(k)}]^2r^\alpha\,dx \ge2\frac{(\alpha+m)^2}{(\alpha+m)^2-4\alpha} \int_\Omega|\nabla u|^2r^\alpha\,dx -c\int_\Omega(|\nabla u|^2+|u|^2)\,dx, $$
где $c=\operatorname{const}\ge0$, $-m<\alpha\le2-m+2\sqrt{m+1}$ и $D_i$ – оператор дифференцирования no $x_i$. Константа $2(\alpha+m)^2[(\alpha+m)^2-4\alpha]^{-1}$ является точной. При $0\ge\alpha>2-m+2\sqrt{m+1}$ аналогичная константа равна $(2m+\alpha)m^{-1}$.
Далее рассматривается краевая задача

$$ L(u)\equiv\sum_{k=1}^m D_ka_k(x,u,D_ju)-a_0(x,u,Du)=0, \qquad u|_{\partial\Omega}=0 $$
и для нее рассматривается итерационный процесс $-\Delta u_{n+1}+u_{n+1}=-\Delta u_n+u_-\varepsilon L(u_n)$; $u_{n+1}|_{\partial\Omega}$; $u_0=0$, где $\varepsilon=\operatorname{const}>0$.
Предполагается, что наряду с условиями гладкости для коэффициентов уравнения $a_k=(a_k^{(1)},\dots,a_k^{(m)})$ выполнены при любых $u,v\in c^{(1)}$ неравенства:
\begin{align} &\sum_{l=1}^m\sum_{k=0}^m[a_k^{(l)}(x,u,Du)-a_k^{(l)}(x,v,Dv)] D_k(u^{(l)}-v^{(l)})\geq\notag\\ &\geq a\biggl\{\sum_{l,k=1}^m[D_k(u^{(l)}-v^{(l)})-D_l(u^{(k)}-v^{(k)})]^2 +|u-v|^2\biggr\},\notag\\ &\sum_{l=1}^m\sum_{k=0}^m[a_k^{(l)}(x,u,Du)-a_k^{(l)}(x,v,Dv)]^2 \leq\notag\\ &\leq b\sum_{l=1}^m\sum_{k=0}^m[a^{(l)}_k(x,u,Du)-a^{(l)}_k(x,v,Dv)] D_k(u^{(l)}-v^{(l)}),\notag \end{align}
где $a,b=\operatorname{const}>0$.
Теорема: если выполняется неравенство $(1-\frac{2}{m-1}\frac ab) [1+\frac{(m-2)^2}{m-1}]<1$, то рассматриваемая задача имеет гёльдеровое внутри $\Omega$ решение, к которому сходится приведенный выше итерационный процесс. Библ. 9.