Некоторые неравенства между наилучшими приближениями периодических функций

В работе рассматриваются вопросы, связанные с нахождением точных постоянных в неравенствах между равномерными наилучшими приближениями и между равномерными наилучшими приближениями и модулями непрерывности. Примером полученных результатов может служить следующее утверждение.
Пусть $\widetilde C$ — пространство вещественных непрерывных $2\pi$-периодических функций с обычной нормой, $E_n(f)$ — наилучшее приближение тригонометрическими полиномами порядка не выше $n$. Положим $\rho_n(f)=\sup\limits_{|t|\le\pi/(n+1)}E_n(f(x+t/2)-f(x-t/2))$, $\gamma_n(f)=\sup\limits_{|t|\le\pi/(n+1)}E_n(f(x+t)-2f(x)+f(x-t))$. Пусть $n\ge0$ — целое число.
Тогда: 1) если $f\in\widetilde C^{(2)}$, то $E_n(f')\le\bigl\{\frac12\rho_n(f)\rho_n(f'')\bigr\}^{1/2}$; 2) если $f\in\widetilde C^{(3)}$ то $E_n(f'')\frac12\bigl\{\frac32\gamma_n(f)\rho_n^2(f''')\bigr\}^{1/3}$. В обоих неравенствах постоянные точные.