Периодические решения дифференциальных уравнений с частными производными

Рассматривается уравнение с частными производными
$$ R(D;x)U(x)\equiv\sum_{(m\in\Phi)}c_m(x)D^mu(x)=f(x),\eqno{(1)} $$
где $\Phi$ — конечный набор мультииндексов, $(m\in\Phi)$ означает, что $m$ пробегает $\Phi$ и $c_m(x)$ ($m\in\Phi$) — почти всюду ограниченные в $\Omega=\{x\in R^n:0\le x_j\le2\pi;j=1,\dots,n\}$ измеримые функции. Вводится понятие периодического решения и исследуется связь между существованием у уравнения (1) периодического решения и свойствами системы функций
$$ \{R(D;x)\exp(ip,x)=R(ip;x)\exp(ip,x)\quad(p\in K^n)\}. $$
В качестве примеров рассмотрены эллиптические, параболические и некоторые гиперболические уравнения. Исследован также тот случай, когда $R(D;x)$ можно представить в виде суперпозиции операторов, либо в виде линейной комбинации.