Разностные схемы для нелинейных многомерных эллиптических уравнений, I

Предлагаются и исследуются разностные схемы на произвольных неравномерных сетках для решения первой, второй и третьей граничных задач для квазилинейного эллиптического уравнения
$$ -\sum_{i=1}^m\frac\partial{\partial x_i}k_i(x,u,u_x)+k_0(x,u,u_x)=f(x)\eqno{(1)} $$
в $m$-мериом параллелепипеде с гранями, параллельными координатным гиперплоскостям. Разностные схемы определяются и исследуются с помощью сумматорных тождеств вида
$$ \frac1{2^m}\sum_{i=1}^m\sum_{|r|=0}(a_i(x,y,\nabla_{-r}y),D_{-r_i}\eta)_r+\frac1{2^m}\sum_{|r|=0}(a_0(x,y,\nabla_{-r}y),\eta)_r=(\varphi,\eta) $$
являющихся аналогами интегральных тождеств для соответствующих граничных задач. Здесь $\Delta_{-r}y=D_{-r_1}y,\dots,D_{-r_m}y$ — разностная аппроксимация градиента искомой функции, $(y,z)_r$ — квадратурная формула прямоугольников, согласованная с $\nabla_{-r}$.
В первой части работы доказывается однозначная разрешимость разностных схем при условии сильной эллиптичности уравнения (1). Исследуется поведение решений разностных схем при возмущении правой части и оператора разностной схемы. Во второй части доказана сходимость разностных схем в сеточном пространстве $W_2^{(1)}$ со скоростью $O(|h|)$ для второй и третьей граничных задач и со скоростью $O(|h|^2)$ — для первой граничной задачи. В случае равномерной по каждому направлению сетки для второй и третьей граничных задач устанавливается сходимость со скоростью $O(|h|^{3/2})$. В случае, когда $m=2$ и сетка равномерна по каждому направлению, доказана равномерная сходимость со скоростью $O(|h|^2|\ln|h||)$ для второй и третьей граничных задач и $-O(|h|^2|\ln|h||^{1/2})$ — для первой граничной задачи. Построены и исследованы итерационные методы переменных направлений и бегущего счета для рассматриваемых в работе разностных схем.