$Z_n$-классификация и аппроксимация множеств

Описывается достаточно широкий класс теоретико-множественных операций, которые получаются путем закономерных $R$-расширений исходной теоретико-множественной операции и дополнительной к ней над несчетными системами множеств, когда мощность системы есть сильно недостижимое кардинальное число. Такие расширения для случая евклидова пространства и счетных систем множеств рассматривались А. А. Ляпуновым (Тр. Матем. ин-та АН СССР, т. 40, гл. IV, 1953, с. 1–63). Показано, что можно получить содержательную теорию для семейств множеств, когда мощность семейства есть сильное недостижимое кардинальное число. Некоторые результаты оказываются аналогичными тем, которые были известны для операций над счетными семействами множеств, другие нет. В частности, полученные операции сохраняют аппроксимируемость множеств. В силу мощностных особенностей, остается открытым вопрос о $B$-аппроксимируемости $R$-множеств в случае сильно недостижимых кардиналов.