О точности представления некоторой непрерывной $2\pi$-периодической функции при помощи линейных методов аппроксимации

В статье рассматриваются вопросы, связанные с точностью представления в метрике $\widetilde C$ непрерывной периодической функции при помощи ее средних Рисса $R_{n,r}(f)$. В частности, даются двусторонние оценки $\|f-R_{n,r}(f)\|$ с помощью мажоранты, связанной только с поведением производных средних Рисса, а не со структурными (модулями непрерывности) свойствами аппроксимируемой функции. Устанавливаются (при некоторых ограничениях на множество $\mathfrak M$ пространства $\widetilde C$) асимптотические формулы для величины
$$ K(r,l,n)=\sup_{f^{(r)}\in\mathfrak M}\{\|f-S_n(f)\|/\omega_t(\pi/(n+1),f^{(r)})\}, $$
где $S_n(f)$ — суммы Фурье. Ранее эти формулы были даны С. М. Никольским для случая, когда $\mathfrak M=\widetilde C$, а $l=1$. Аналогичный результат установлен и для сопряженных функций. Кроме того, приводятся некоторые оценки сверху для $\|f-S_n(f)\|$ при помощи модулей непрерывности. Приведены оценки для наилучших приближений в пространств $\widetilde C$. В частности, устанавливаются новые возможные значения для постоянных в обобщенном неравенстве Д. Джексона, когда порядок производной есть натуральное число, а порядок модуля непрерывности $\ge3$.