Неустойчивые экстремальные задачи и геометрические свойства единичной сферы в пространстве Банаха

Рассматривается задача минимизации квазивыпуклого функционала $F(x)$ на выпуклом замкнутом множестве $M$ банахова пространства $X$. Известно, что в целом ряде случаев такая задача хотя и разрешима, но неустойчива. Предлагается следующий способ получения сильно сходящейся минимизирующей последовательности. Пусть $F_0=\inf\limits_{x\in M}F(x)$, $|F_0-F_\delta|\le\delta$, $\Omega_\delta=\{x\in M\colon F(x)\le F_\delta+\delta\}$. Элемент $x_\delta\in\Omega_\delta$, обладающий наименьшей нормой, берется в качестве приближенного решения первоначальной задачи. Найден класс пространств, в которых задача нахождения $x_\delta$ устойчива и $x_\delta\o x_0$ при $\delta\to0$, где $x_0$ — точное решение исходной задачи. Установлено, что это выполняется в $E$-пространствах и только в них. Рассмотрены также вопросы, связанные с классами стабилизации неустойчивых экстремальных задач.