Некоторые оценки и асимптотические формулы для суперортогональных многочленов

Пусть $\Gamma$ — замкнутая спрямляемая жорданова кривая, заданная параметрически: $z=z(s)$, $z=x+iy$, $s$ — длина дуги, отсчитываемая от некоторой фиксированной точки.
Ортогонализация последовательности однородных гармонических многочленов $\{1,u_n(x,y),v_n(x,y)\}$, $u_n(x,y)=\operatorname{Im}z^n$, $v_n(x,y)=\operatorname{Re}z^n$, $n=1,2,\dots$, относительно скалярного произведения $(f,g)=\frac1{2\pi}\int_\Gamma f(x,y)g(x,y)\,d\omega(s)$, где $\omega(s)$ — функция распределения, приводит к системе ортонормированных на $\Gamma$ гармонических многочленов (СОГМ) $\{\alpha_0,\alpha_n(z),\beta_n(z)\}$, $n=1,2,\dots$
Показано, что для каждой кривой $\Gamma$ существует функция распределения $\omega(s)$ такая, что СОГМ, индуцированная ею на $\Gamma$, обладает свойством: комбинации $\frac1{\sqrt2}[\beta_n(z)+i\alpha_n(z)]$, $n=1,2,\dots$, образуют систему многочленов от переменной $z$, ортонормированных на $\Gamma$ с распределением $\omega(s)$. СОГМ'ы с описанными свойствами названы суперортогональными.
Приведены примеры СОГМ'ов, которые не являются суперортогональными.
Для многочленов суперортогональных систем, индуцированных специальными функциями распределения, установлены асимптотические формулы на $\Gamma$ и ее внешности, и получены оценки на внутренности кривой $\Gamma$.