О точках суммируемости двойных рядов Фурье некоторыми линейными методами

Определение. 1. Двойной ряд Фурье функции $f(t,\tau)$ называется ограниченно суммируемым методом $(C;\alpha,\beta)$ ($\alpha>0$, $\beta>0$) в точке $(x,y)$ к $f(x,y)$, если
$$ \lim_{(m,n)_\lambda\to\infty}\sigma_{m,n}^{(\alpha,\beta)}(f;x,y)=f(x,y)\eqno{(1)} $$
где $\sigma_{m,n}^{(\alpha,\beta)}(f;x,y)=\frac1{A_m^\alpha A_n^\beta}\sum_{i=0}^m\sum_{k=0}^nA_{m-i}^{\alpha-1}A_{n-k}^{\beta-1}S_{i,k}(f;x,y)$, $S_{m,n}(f;x,y)$ — частная сумма двойного ряда Фурье для функции $f(t,\tau)$, $A_m^\alpha$ — биноминальный коэффициент, а символ $(m,n)_\lambda$ означает, что при стремлении $m$ и $n$ к своим пределам выполняются соотношения $\lambda^{-1}\le m/n\le\lambda$ ($1\le\lambda<+\infty$).
В настоящей работе даются характеристики точек для функции двух переменных, в которых имеет место ограниченная суммируемость двойных рядов Фурье методом $(C;\alpha,\beta)$ ($\alpha>0$, $\beta>0$) и некоторыми другими линейными методами.
Лемма 1. {\em Если $f(t,\tau)$ — суммируемая периодическая функция периода $2\pi$, тогда при $\delta>1$ почти всюду имеем
$$ \lim_{(m,n)_\lambda\to\infty}M_{m,n}(f;x,y;\delta)=0\quad(1\le\lambda<+\infty),\eqno{(2)} $$
где
$$ M_{m,n}(f;x,y,\delta)=\sup_{\substack{1\le i\le2\ln2m\\1\le j\le2\ln2n}}\frac{mn}{2^{\delta(i+j)}}\int_{-2^i/m}^{2^i/m}\int_{-2^j/m}^{2^j/m}|f(x+t,y+\tau)-f(x,y)|\,dtd\tau. $$
}
Теорема 1. {\em Если $f(t,\tau)$ — суммируемая периодическая функция периода $2\pi$, то
$$ \sigma_{m,n}^{(\alpha,\beta)}(f;x,y)-f(x,y)|\le O(1)M_{m,n}(f;x,y;\delta) $$
при $\alpha>0$, $\beta>0$, $1<\delta<2$}.
Из этой теоремы следует ограниченная суммируемость методом $(C;\alpha,\beta)$ ($\alpha>0$, $\beta>0$) двойных рядов Фурье во всех точках, где выполняется (2), т.е. почти всюду.
В частности, если суммируема функция $f\ln^+|f|$ ($\ln^+|f|=\ln|f|$ при $|f|>1$, и $\ln^+|f|=0$ при $|f|<1$), тогда в лемме 1 можно положить $\lambda=\infty$ и, следовательно, ограниченную суммируемость везде можно заменить обыкновенной суммируемостью.
Аналогичные результаты установлены для метода Абеля–Пуассона. Показывается, что эти теоремы можно распространить и на некоторые другие линейные методы суммирования двойных рядов Фурье.