Теоремы вложения для некоторых классов периодических непрерывных функций

Для заданного $k$ ($k=1,2,\dots$) указаны окончательные условия вложений: 1) $H_{k-1+r}^\varphi\subseteq H_{k+r}^\varphi$ ($k>1$, $r\ge1$), 2) $H_k^\varphi\subset\widetilde C_{2\pi}$ 3) $H_l^\varphi\subseteq \widetilde H_k^\varphi$ ($l<k$, $l\ge k$), 4) $H_k^\varphi\subseteq\widetilde E^\varphi$, 5) $E^\varphi\subseteq\widetilde H_k^\varphi$ на мажоранту $\varphi(\delta)>0$, $\varphi(\delta)\downarrow0$ при $\delta\downarrow+0$, у которой, исключая 5), $\varphi^{-k}\varphi(\sigma)$ почти убывает. При $k=1$ в 2) это ранее было сделано А. Зигмундом, а при $k=l=1$ в 3) — Н. К. Бари и С. Б. Стечкиным. Окончательность вводимых условии подтверждается при помощи новых оценок $\omega_k(f,\delta)$ для $f\in C_{2\alpha}$ с $a_n(f),b_n(f)\ge0$ ($n=0,1,\dots$).