Об интегральных уравнениях первого рода с ядром типа потенциала

Исследуется оператор
$$ M\varphi=\frac1{\Gamma(\alpha)}\int_{-\infty}^\infty\frac{c(x,t)}{|x-t|^{1-\alpha}}\varphi(t)\,dt\quad(0<\alpha<1) $$
где функция $c(x,t)$ разрывна па диагонали $x=t$: $c(x,t)=\{u(x,t),\ t<x;\ v(x,t), t>x\}$. Функции $u(x,t)$, $v(x,t)$ предполагаются принадлежащими классу $H(\lambda,\mu,\nu)$ (некоторое обобщение класса гельдеровских функций). Вводится банахово пространство $I^\alpha(L_p)$ с нормой
$$ \|f\|_{I^\alpha(L_p)}=\biggl\{\int_{-\infty}^\infty\biggl|\int_{-\infty}^\infty\frac{f(x)-f(t)}{|x-t|^{1-\alpha}}\,dt\biggr|^pdx\biggr\}^{1/p} $$
Основные результаты: 1) если $\max(\nu,\alpha)<\lambda\le\mu+\nu$, то $M(L_p)\subseteq I^\alpha(L_p)$; 2) если $\mu>1/p$, $1/p+\nu<\lambda\le\mu+\nu$ и $u^2(x,x)+v^2(x,x)\ne0$, то $M$ как оператор из $L_p$ в $I^\alpha(L_p)$, $1>p<1/\alpha$ является оператором Нётера, и его индекс вычисляется по формуле
$$ \varkappa=\frac1\pi\int_{-\infty}^\infty d\arg\biggl\{u(x,x)+v(x,x)+i\operatorname{tg}\frac{\alpha\pi}2[u(x,x)-v(x,x)]\biggr\} $$