Об одном классе операторов типа потенциала на прямой

Изучается в $L_1(-\infty,\infty)$ класс операторов типа потенциала
$$ M_\alpha\varphi=\frac1{\Gamma(\alpha)}\int_{-\infty}^\infty\frac{c_1+c_2\operatorname{sign}(x-t)}{|x-t|^{1-\alpha}}\varphi(t)\,dt $$
с произвольными постоянными коэффициентами $c_1$, $c_2$. Основной результат: композиция $M_\alpha M_\beta'$ двух операторов с различными коэффициентами является при $\alpha+\beta<1$ оператором типа $M_{\alpha+\beta}$. При специально выбираемых соэффициентах этот результат верен и в предельном случае: $\alpha+\beta=1$. Последнее обстоятельство позволяет описать область значений оператора $M_\alpha$ и тем самым получить необходимые и достаточные условия разрешимости в $L_1(-\infty,\infty)$ для уравнения $M_\alpha \varphi=f$ (называемого обобщенным уравнением Абеля). Эти условия состоят в следующем: 1) функция
$$ \omega_j(x)=\frac1{\Gamma(1-\alpha)}\int_{-\infty}^\infty\frac{c_2+c_1\operatorname{sign}(x-t)}{|x-t|^{1-\alpha}}f(t)\,dt $$
абсолютно непрерывна на действительной оси; 2) $(u^2+uv\cos\alpha\pi)\omega_f(-\infty)+(v^2+uv\cos\alpha\pi)\omega_f(+\infty)=0$, $u=c_1+c_2$, $v=c_1-c_2$. При выполнении 1), 2) уравнение $M_\alpha \varphi=f$ имеет единственное в $L_1(-\infty,\infty)$ решение, определяемое формулой:
$$ \varphi(x)=\frac1A\,\frac d{dx}\omega_f(x),\quad A=u^2+v^2+2uv\cos\alpha\pi. $$