О двумерных нормальных матрицах

Изучаются двумерные нормальные матрицы $A=\{a_{m,n,i,j}\}$, т.е. матрицы, обладающие тем свойством, что их коэффициенты $a_{m,n,i,j}=0$, когда $i>m$ или $j>n$, и $a_{m,n,m,n}\ne0$ для $m=0,1,2,\dots$, $n=0,1,2,\dots$ Устанавливается, что произведение двух нормальных матриц является нормальной матрицей и что матрица, обратная нормальной, также нормальна. Будем говорить, что матрица $A=\{a_{m,n,i,j}\}$ суммирует последовательность $\{s_{i,j}\}$ к числу $s$ в том или ином смысле в зависимости от характера используемого предельного перехода, если $\lim\limits_{(m,n)\to\infty}\sum_{i,j=0}^\infty a_{m,n,i,j}s_{i,j}=s$ в смысле того или иного рассматриваемого предельного перехода. Для класса двумер- со ных числовых матриц $A=\{a_{m,n,i,j}\}$, удовлетворяющих условию $\sum_{i,j=0}^\infty|a_{m,n,i,j}|<H$, $H$ — некоторая константа, не зависящая от $m$ и $n$, установлено существование нормальной матрицы, суммирующей те и только те ограниченные последовательности, которые суммируются данной рассматриваемой числовой матрицей. Конкретизация предельных переходов в смысле Прингсхейма, Мура или Лондона приводит к соответствующим результатам для этих предельных переходов. Метод доказательства не связан с характером рассматриваемого двумерного предельного перехода.