Исследования интерполяционных процессов, построенных при расширенных системах узлов

Будем рассматривать в качестве узлов точки $x_{n+1}^{(n+2)}=-1$,
$$ x_k^{(n+2)}=\cos\frac{2k-1}{2n}\pi,\quad k=1,2,\dots,n;\quad x_0^{(n+2)}=1,\quad n=1,2,\dots,\eqno{(\mathrm m_1)} $$
и
$$ x_k^{(n+2)}=\cos\frac{k\pi}{n+1},\quad k=0,1,\dots,(n+1),\quad n=1,2,\dots\eqno{(\mathrm m_2)} $$
Для $f\in C_{[-1,1]}$ обозначим через $H_n(f,x)$ многочлен степени $(2n+3)$, однозначно определяющийся из условий $H_n(f,x_k^{(n+2)})=f(x_k^{(n+2)})$, $H_n'(f,x_k^{(n+2)})=0$, $k=0,1,2,\dots,(n+1)$, где $\{x_k^{(n+2)}\}_{k=0}^{n+1}$ составляют $(n+2)$ строчек матрицы $(\mathrm m_2)$. Через $M_n(f,x)$ обозначим многочлен степени $(2n+1)$, однозначно определяющийся из условий
$$ M_n(f,\pm1)=f(\pm1),\quad M_n(f,x_k^{(n+2)})=f(x_k^{(n+2)}),\quad M_n'(f,x_k^{(n+2)})=0,\quad k=1,2,\dots,n, $$
где $\{x_k^{(n+2)}\}_{k=0}^{n+1}$ составляют $(n+2)$ строчек матрицы $(\mathrm m_1)$. Доказывается, что для $f\in C_{[-1,1]}$ и любого $x\in[-1,1]$ выполняются соотношения $M_n(f,x)\to f(x)$, $n\to\infty$; $H_n(f,x)\to f(x)$, $n\to\infty$, причем сходимость равномерная в любом отрезке вида $[-1+\varepsilon,1-\varepsilon]$, $0<\varepsilon<1$.