Применение интегралов типа Коши к решению краевых задач для уравнения смешанного типа четвертого порядка, I

Рассматривается уравнение
$$ \frac{\partial^4u}{\partial x^4}+2\operatorname{sign}y\frac{\partial^4u}{\partial x^2\partial y^2}+\frac{\partial^4u}{\partial y^4}=0 $$
Введем следующие обозначения: $\Gamma_1$ — полупрямая $y=0$, $-\infty<x<-1$; $\Gamma_2$ — полупрямая $y=0$, $1<x<\infty$; $\gamma_1=\{y=-x-1,\ -1\le x\le0\}$ и $\gamma_2=\{y=x-1,\ 0\le x\le1\}$ — характеристики уравнения; $\Delta$ — верхняя полуплоскость; $D_1$ — область, ограниченная характеристиками $\gamma_1$, $\gamma_2$ и отрезком действительной оси $y=0,-1\le x\le1$. Требуется найти функцию $u(x,y)$, удовлетворяющую во всех конечных точках области $\Delta$ и в $D_1$, указанному уравнению и принимающую заданные значения на $\Gamma_1$, $\Gamma_2$ вместе со своими нормальными производными первого порядка, а на $\gamma_1$ и $\gamma_2$ — значения ее нормальных производных указанного порядка. Во второй краевой задаче на характеристике $\gamma_1$ задаются значения функции $u(x,y)$ и ее нормальной производной первого порядка. Доказывается существование решения каждой из сформулированных краевых задач.