К теории $W$-групп, I

В статье исследуются группы, введенные Ф. Холлом (сб. переводов «Математика», 12:1, 1968) и названные им $W$-группами. На $W$-группы переносится ряд свойств локально-нильпотентных групп. Доказано, что члены и факторы верхнего и нижнего центральных рядов $W$-группы $W$-допустимы. Показано, что конечно-порожденная $W$-группа $G=\{a_1,a_2,\dots,a_n\}^W$ нильпотентна, имеет тот же класс нильпотентности, что и абстрактная подгруппа $A=\{a_1,a_2,\dots,a_n\}$. Пусть $\Omega$ — некоторое множество простых идеалов в кольце $W$, $\overline\Omega$ — множество всех $\Omega$-идеалов и $(H:x)=\{\lambda\mid\lambda\in W,\ x^\lambda\in H\}$. Доказано, что подмножество $H_\Omega=\{x\mid x\in G,\ (H:x)\in\overline\Omega\}$ образует $W$-допустимую подгруппу, называемую $\Omega$-изолятором подгруппы $H$ в группе $G$. На основе этой теоремы на $W$-группы переносится в обобщенном виде ряд свойств изоляторов локально-нильпотентных групп.