Конечные группы с заданными свойствами максимальных подгрупп

Пусть $G$ — конечная группа, $\pi$ — некоторое непустое подмножество множества всех простых делителей ее порядка. Максимальная подгруппа $M$ группы $G$ называется максимальной $\pi$-критической подгруппой группы $G$, если вне $M$ есть хотя бы один $\pi$-элемент группы $G$. Получены некоторые результаты по $\pi$-свойствам конечных групп, среди которых отметим следующие.
Теорема 1. Пусть ядро некоторой максимальной подгруппы $M$ группы $G$ совпадает с $I$, и пусть все максимальные подгруппы группы, $G$ с единичным ядром $p$-разложимы. Тогда группа $G$ либо $p$-специальна, либо $p$-нильпотентна.
Теорема 3. Пусть в группе $G$ всякие максимальные $\pi$-критические подгруппы, имеющие одно и то же ядро, имеют один и тот же порядок. Тогда группа $G$ $\pi$-разрешима.
Теорема 5. Если все максимальные $p$-критические подгруппы группы $G$ $p$-специальны и если хотя бы одна из них инвариантна в $G$, то группа $G$ либо $p$-специальна, либо является $p$-нильпотентной группой, все максимальные $p$-критические подгруппы которой $p$-разложимы.