О расщеплении решений некоторых нелинейных дифференциальных уравнений первого порядка с запаздывающим аргументом по их асимптотическому поведению

Рассматривается уравнение
$$ y'(x)=-\int_0^\infty y^\alpha(x-s)\,dr(x,s)\quad(A\le x<\infty),\eqno{(1)} $$
$\alpha>1$, $(-1)^\alpha=-1$, при непрерывной начальной функции. Ядро $r(x,s)$ является неубывающей функцией $s$ при каждом фиксированном $x$. Доказывается, что уравнение (1) обладает свойством: совокупность решений, соответствующая некоторому множеству начальных функций, расщепляется на два класса с резко отличающимися скоростями стремления к нулю при $x\to\infty.$