Некоторые тригонометрические тождества и их применение в теории интерполяции

Пусть $x_j^{(n+2)}=\cos\frac{j\pi}{n+1}$. Обозначим через $H_{n+2}(f,x)$ полином степени меньше или равной $2n+3$, который однозначно определяется из условий $H_{n+2}(f,x_j^{(n+2)})=f(x_j^{(n+2)})$, $H'_{n+2}(f,x_j^{(n+2)})=0$, $j=0,1,2,\dots,(n+1)$, где $f\in C_{[-1,1]}$. Доказано, что для любой $f\in C_{[-1,1]}$
$$ \lim_{n\to\infty}H_{n+2}(f,0)=f(0). $$
В ходе доказательства этой теоремы установлены следующие равенства:
\begin{gather*} 1.\ \sum_{j=1}^{2m}\frac1{\cos^2\frac{j\pi}{2m+1}}=4m(m+1);\quad\sum_{j=1}^{2m}\frac1{\sin^2\frac{j\pi}{2m+1}}=\frac{4m(m+1)}3. \\ 2.\ \text{Для любой }f\in C_{[-1,1]} \lim_{m\to\infty}\frac1{(2m+1)^2}\sum{f\biggl(\cos\frac{j\pi}{2m+1}\biggr)}{\cos^2\frac{j\pi}{2m+1}}=f(0), \\ \lim_{m\to\infty}\frac1{(2m+1)^2}\sum{f\biggl(\cos\frac{j\pi}{2m+1}\biggr)}{\sin^2\frac{j\pi}{2m+1}}=\frac{f(-1)+f(1)}6. \end{gather*}