Об асимптотике решения задачи Коши для уравнения теплопроводности

Изучается остаточный член в асимптотике решения задачи Коши $\frac{\partial U}{\partial t}=\frac1{p(x)}\frac{\partial^2U}{\partial x^2}$, $U(x,0)=f(x)$ с финитной $f(x)$; $p(x)$ для простоты считаем четной. Пусть $N(\xi)$ — ограниченное при $\xi\to+\infty$ решение уравнения $y''-\xi^\alpha y=0$, $\alpha>-1$, удовлетворяющее условию $N(0)=1$, $N(\xi)=\xi^{1/2}K_\nu(2\nu\xi^{1/2})$, $\nu=1/\alpha+2$, $K_\nu$ — функция Макдональда. Доказывается следующая
Теорема. {\em Предположим, что для некоторых $\varphi_0$, $\frac\pi2<\varphi_0<\pi$, и $A>0$ в секторе $|\arg s|<\varphi_0$ выполняются следующие условия:
1. в области $D_1\colon|\arg s|<\varphi_0$, $|s|\le\delta$,
$$ |-s\int_x^\infty(p(\xi)-A\xi^\alpha)N^2(A^\nu s^\nu\xi)\,d\xi/N^2(A^\nu s^\nu x)|=\Delta(x,s)\le M|s|^{\nu+\gamma}(1+A^\nu|s|^\nu x)^{\alpha/2}, $$
$\gamma>0$, $M>0$ — некоторая константа;
2. в области $D_2\colon|\arg s|<\varphi_0$, $|s|>\delta$
$$ \Delta(x,s)<\frac12A^\nu|s|^\nu(1+A^\nu|s|^\nu x)^{\alpha/2}\cos\varphi_0/2,\quad x\ge x_0\text{ достаточно велико}; $$

3. $\displaystyle{\int_0^\infty(p''/p^{3/2}-5p'^2/4p^{5/2})\,d\xi<\infty.}$ Тогда равномерно по $x$ на конечном интервале, не пересекающемся с носителем
$$ U(x,t)=\frac{\int_{-\infty}^\infty f(\xi)p(\xi)\,d\xi}{2A^\nu\nu^{2\nu-1}\Gamma(1-\nu)}t^{-1+\nu}+
\begin{array}{ll} O(t^{-1+\nu-\gamma}),&\gamma<\nu \\ O(t^{-1}),&\gamma\ge\nu \end{array}
$$
}.
Требование о непересекаемости интервала с носителем $f(x)$ снимается в п. 2 при условии гладкости $f(x)$.