Некоторые условия расширения обобщенных груд

Расширением обобщенной груды $\Gamma$ пар частичных взаимно однозначных отображений между множествами $A$ и $B$ называется такая обобщенная груда $K$ пар частичных отображений между множествами $A$ и $B$, что ее образ при преобразовании $Q((\varphi,\psi))=(\varphi\cap\overset{-1}\psi)$, $\psi\cap\overset{-1}\varphi$ где $(\varphi,\psi)\in K$, совпадает с $\Gamma$ (Изв. вузов, Матем., 1966, № 5, с. 129–141). Расширение называется несобственным, если оно совпадает с исходной обобщенной грудой, и собственным в противном случае. Доказана
Теорема 1. {\em Для того чтобы обобщенная груда $\Gamma$ пар частичных взаимно однозначных отображений имела собственное расширение, необходимо, чтобы выполнялось условие
$$ \alpha_\Gamma\cap\overline{\alpha_\Gamma}\ne\varnothing\vee\beta_\Gamma\cap\overline{\beta_\Gamma}\ne\varnothing,\eqno{(1)} $$
где $\alpha_\Gamma$, $\overline{\alpha_\Gamma}$, $\beta_\Gamma$, $\overline{\beta_\Gamma}$ — бинарные отношения, построенные с помощью теоретиков множественных операций над частичными отображениями из обобщенной груды $\Gamma$}.
Говорят, что множество состоит из частичных взаимно однозначных совместных отображений, если их объединение является также частичным взаимно однозначным отображением. В теореме 2 доказано, что для обобщенных груд, состоящих из пар частичных взаимно однозначных совместных отображений, условие (1) является также и достаточным. Как следует из работы, упомянутой выше, подобные результаты имеют место и для обобщенных групп частичных преобразований.