О представлении полугрупп частичными преобразованиями

Мощность множества, частичными преобразованиями которого может быть представлена полугруппа, называется степенью этого представления. Изучается зависимость между свойствами полугруппы и степенями изоморфных ей представлений. Через $F(G)$ обозначена наименьшая степень представления полугруппы $G$ частичными преобразованиями; множество $A$ мощности $\nu$ обозначается $A^\nu$; $\aleph_\textк$ — всех конечных мощностей; $\aleph_\textн$ — класс всех кардинальных чисел, не имеющих предыдущих; $\aleph_\textп$ — класс всех кардинальных чисел, для которых существует предыдущее кардинальное число. Доказаны
Теорема 1. Наименьшая степень представления частичными преобразованиями любой полугруппы $G^\nu$ не превосходит $\nu$, и в классе всех полугрупп мощности $\nu$ всегда найдется полугруппа $G_s^\nu$, наименьшая степень представления которой частичными, преобразованиями совпадает с $\nu$.
Теорема 2. {\em В классе всех полугрупп мощности $\nu$ существует такая полугруппа $G_0^\nu$, что степень представления частичными преобразованиями любой полугруппы $G^\nu$ не меньше наименьшей степени — $\nu_0$ представления полугруппы $G_0^\nu$, причем: $\nu_0\ge N(\nu)$ (определенная функция), если $\aleph_\textк$; $\nu_o\nu$, если $\aleph_\textн$; $\nu_0=\aleph_{n-1}$ если $\nu=\aleph_n\in\aleph_\textп$.
Теорема 3. Степень представления частичными преобразованиями произвольной полугруппы $G^\nu$ может быть любым кардинальным числом, большим чем ее наименьшая степень $F(G^\nu)$.