О нормализации дискретных уравнений типа свертки

Изучается дискретное парное уравнение
$$ \Pi f=\left\{ \begin{aligned} \sum_{k=-\infty}^\infty a_{n-k}f_k,\ &n=0,1,\dots, \\ \sum_{k=-\infty}^\infty b_{n-k}f_k,\ &n=-1,-2,\dots, \end{aligned} \right\}=\{g_n\}_{n=-\infty}^\infty\eqno{(1)} $$
в банаховых пространствах $X=e\{\pm n\}$ ($0\le n\le\infty$). Последовательность $\varphi=\{\varphi_k\}_{k=-\infty}^\infty\in e\{\pm n\}$ $(0\le n<\infty)$, если $\{\varphi_k(|k|+1)^{\mp n}\}_{k=-\infty}^\infty\in e$ где через $e$ обозначено одно из пространств $l_p$, ($1\le p<\infty$), $l_\infty=m$, $c$, $c^0$; $e\{-\infty\}\bigcap_{n=0}e\{-n\}$, $e\{+\infty\}=\bigcup_{n=0}^\infty e\{+n\}$. Коэффициенты задачи $\{a_k\}_{k=-\infty}^\infty$, $\{b_k\}_{k=-\infty}^\infty$ принадлежат пространству $l_1\{-n\}$. Рассматривается исключительный случай системы (1), когда символ, т.е. пара функций $\bigl(a(t)=\sum_{k=-\infty}^\infty a_kt^k,b(t)=\sum_{k=-\infty}^\infty b_kt^k\bigr)$, имеет нули целой степени в конечном числе точек единичной окружности. В частности, у этих функций могут быть одинаковые нули. Оператор $\Pi$ в $X$ можно представить в виде $\Pi=\Omega\widetilde\Pi$; $\widetilde\Pi$ — нормальный оператор (оператор с символом $\widetilde a(t)=\sum_{k=-\infty}^\infty\widetilde a_kt^k,\widetilde b(t)=\sum_{k=-\infty}^\infty b_kt^k$, отличным от нуля), а символ оператора $\Omega$ состоит из нулей функций $a(t)$, $b(t)$. Оператор $\Omega$ имеет неограниченный обратный оператор в пространствах $e\{\pm n\}$ ($0\le n<\infty$), причем при $n>0$ это правый обратный оператор. Оператор $\Pi$, рассматриваемый как линейный оператор, действующий из пространства $X$ в некоторую его часть $DX=\Omega(X)$, является нётеровым. Подсчитаны индекс оператора и его $d$-характеристики.