Об устойчивости решений одного класса линейных разностных уравнений

Рассматривается устойчивость решений системы разностных уравнений вида
$$ \begin{cases} \Delta_1^ky(t_1,t_2)-\sum_{i=1}^{k-1}P_i\Delta_1^iy(t_1,t_2)-\sum_{j=0}^mQ_j\Delta_2^jy(t_1,t_2)=f(t_1,t_2), \\ y(t_1,t_2)=0\quadпри 0\le t_1<k\delta_1 \end{cases}\eqno{(1)} $$
где
$$ \Delta_1y(t_1,t_2)=\frac{y(t_1+\delta_1,t_2)-y(t_1,t_2)}{\delta_1},\quad\Delta_2y(t_1,t_2)=\frac{y(t_1,t_2+\delta_2)-y(t_1,t_2)}{\delta_2}. $$
Здесь $y(t_1,t_2)$ — искомая, $f(t_1,t_2)$ — заданная вектор-функция, значения которых принадлежат некоторому конечномерному комплексному пространству. Операторные коэффициенты попарно перестановочны. Область изменения независимых переменных $0\le t_1$, $t_2<0$.
Основной результат. Пусть $p_i$ ($i=1,2,\dots,k-1$), $q_j$ ($j=0,1,2,\dots,m$) — любой набор собственных чисел операторов $P_i$ ($i=1,2,\dots,k-1$) и $Q_j$ ($j=0,1,2,\dots,m$), принадлежащих собственным векторам из общих инвариантных подпространств. Рассмотрим семейство алгебраических уравнений
$$ \lambda^k-\sum_{i=1}^{k-1}p_i\lambda^i-\sum_{j=0}^mq_j\alpha^j=0\eqno{(2)} $$
$\biggl(\alpha$ пробегает замкнутый круг $\biggl|z+\frac1{\delta_2}\biggr|\le\frac1{\delta_2}\biggr)$.
{\em Для того чтобы в задаче (1) каждой ограниченной правой части $f(t_1,t_2)$ соответствовало ограниченное решение $y(t_1,t_2)$, необходимо и достаточно, чтобы все корни семейства уравнений (2) лежали внутри круга $\biggl|z+\frac1{\delta_1}\biggr|<\frac1{\delta_1}$.